2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数  学（理工类）

参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是 ，那么在n次独立重复试验中事件A恰好发生K次的概率

球的表面积公式:S=4R²,其中R表示球的半径
球的体积公式:，其中R表示球的半径

第一部分 （选择题 共60分）
注意事项：
1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。
2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、(1+x)⁷的展开式中x2的系数是（ ）
A、42
B、35
C、28
D、21

2、复数=（ ）
A、1
B、-1
C、i
D、-i

3、函数，在x=3处的极限是（ ）
A、不存在
B、等于6
C、等于3
D、等于0

4、如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、则（ ）

5、函数的图象可能是（    ）

6、下列命题正确的是（ ）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

7、设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ）

8、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2,y₀)。若点M到该抛物线焦点的距离为3，则（ ）

9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗 原料1千克、 原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克， 原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A、1800元
B、2400元
C、2800元
D、3100元

10、如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45度角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足，则A、P两点间的球面距离为（ ）

11、方程ay=b²x²+c中的，且a,b,c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A、60条 
B、62条 
C、71条 
D、80条

[page]

第二部分  （非选择题 共90分）
注意事项：
（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。
（2）本部分共10个小题，共90分。
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。）
13、设全集U={a,b,c,d}，集合A={a,b}，B={b,c,d}，则=__________。
14、如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是棱CD、CC₁的中点，则异面直线A₁M与DN所成角的大小是____________。

15 、椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当的周长最大时， 的面积是____________。
16、记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1，[-0.3]=-1。设a为正整数，数列{x_n}满足，现有下列命题：
①当a=5时，数列{xn}的前3项依次为5,3,2；
②对数列{x_n}都存在正整数k，当n≥k时总有x_n=x_k；
③当n≥1时，；
④对某个正整数k，
其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）

三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）
17、(本小题满分12分)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为1/10和p。
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49/50，求p的值；
（Ⅱ）设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望E。
18、(本小题满分12分)
函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且为正三角形。
（Ⅰ）求w的值及函数f(x)的值域；
（Ⅱ）

19、(本小题满分12分)
如图，在三棱锥P-ABC中
（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小。

20、(本小题满分12分) 已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂a_n=S₂+S_n对一切正整数n都成立。
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）设a₁>0，数列的前n项和为T_n，当n为何值时，T_n最大？并求出T_n的最大值。
21、(本小题满分12分)
如图，动点M到两定点A(-1,0)、B(2,0)构成，设动点M的轨迹为C。
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
的取值范围。

22、(本小题满分14分)
已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A，设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。
（Ⅰ）用a和n表示f(n)；
（Ⅱ）求对所有n都有成立的的a最小值；
（Ⅲ）当0的大小，并说明理由。